题目内容
直角坐标平面上4个点A（1，2），B（3，1），C（2，3），D（4，0）到直线y=kx的距离的平方和为S，当k变化，S的最小值为 ．
考点：点到直线的距离公式
专题：函数的性质及应用,直线与圆
分析：求出点A、B、C、D到直线y=kx的距离，再求平方和，从而求出最小值．
解答：
解：点A、B、C、D到直线y=kx的距离为d1，d2，d3，d4；
∴d1=
，d2=
，d3=
，d4=
；
∴S=d12+d22+d32+d42=
=
，
整理得（30-S）k2-22k+（14-S）=0，
关于k的一元二次方程有解，则（-22）2-4（30-S）（14-S）≥0，
即S2-44S+299≤0，
∴22-
≤S≤22+
，
∴S的最小值为22-
；
故答案为：22-
．
∴d1=
| |k-2| | ||
|
| |3k-1| | ||
|
| |2k-3| | ||
|
| |4k| | ||
|
∴S=d12+d22+d32+d42=
| (k-2)2+(3k-1)2+(2k-3)2+(4k)2 |
| 1+k2 |
=
| 30k2-22k+14 |
| 1+k2 |
整理得（30-S）k2-22k+（14-S）=0，
关于k的一元二次方程有解，则（-22）2-4（30-S）（14-S）≥0，
即S2-44S+299≤0，
∴22-
| 185 |
| 185 |
∴S的最小值为22-
| 185 |
故答案为：22-
| 185 |
点评：本题考查了点到直线的距离以及求函数的最值问题，是综合题．
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