Question

已知f（x）=2sinx•cosx-2

3

cos²x+

3

．
（1）求f（

π

4

）的值；
（2）若f（α）=

10

13

，且α[

π

2

，π]，求sin2α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用可得f（x）=2sin（2x-

π

3

），从而可求得f（

π

4

）的值；
（2）依题意，易求sin（2α-

π

3

）=

5

13

，cos（2α-

π

3

）=-

12

13

，利用两角和的正弦即可求得sin2α的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinx•cosx-2

3

cos²x+

3

=sin2x-

3

（2cos²x-1）
=sin2x-

3

cos2x
=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

3

），
∴f（

π

4

）=2sin（2×

π

4

-

π

3

）=2sin

π

6

=1；
（2）∵f（α）=

10

13

，
∴2sin（2α-

π

3

）=

10

13

，
∴sin（2α-

π

3

）=

5

13

，又α∈[

π

2

，π]，
∴2α-

π

3

∈（

2π

3

，π），
∴cos（2α-

π

3

）=-

12

13

，
∴sin2α=sin[（2α-

π

3

）+

π

3

]
=sin（2α-

π

3

）cos

π

3

+cos（2α-

π

3

）sin

π

3

=

5

13

×

1

2

+（-

12

13

）×

3

2

=

5-12 3

26

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查同角三角函数间的关系与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．