Question

已知函数f （x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及最小值；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）问f （x）的图象经过怎样的变换才能得到y=-4sinx的图象？

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先将解析式化简变形为y=4sin(2x-

π

3

)+1，然后求周期及最值、单调区间，以及变换方式．

解答： 解：由f （x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1
=2[1-cos(

π

2

+2x)]-2

3

cos2x-1
=2sin2x-2

3

cos2x+1
=4(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+1
=4sin(2x-

π

3

)+1
（1）T=

2π

2

=π，f(x)max=5，f(x)min=-3
（2）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，
解得

5π

6

+2kπ≤2x≤

11π

6

+2kπ，
∴

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z；
（3）将y=4sin(2x-

π

3

)+1向左平移

π

6

个单位得到y=4sin2x+1，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y=4sinx+1，继续向下平移1个单位，得到y=4sinx图象，最后将图象作关于x轴的对称图象，得到y=-4sinx图象．

点评：本题考查了三角函数恒等变形、三角函数的性质以及三角函数图象的变换；熟练三角函数倍角公式以及恒等变形的方法是解答的关键，是经常考查的题型．