Question

设函数f（x）=

2

3

x3+ax2+x，
（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（3）若a为任意实数，试求出f′（sinx）的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=2x²+2ax+1，利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）由f′（x）=2x²+2ax+1，若f（x）存在极值，判别式大于零，由此能求出结果．
（3）由f′(sinx)=2sin2x+2asinx+1=2(sinx+

a

2

)2+1-

a2

2

，利用分类讨论思想和导数性质能求出f′（sinx）的最小值g（a）的表达式．

解答： 解：（1）f′（x）=2x²+2ax+1
当x=-1时，f（x）取得极值，故f′(-1)=2-2a+1=0⇒a=-

3

2

∴f′（x）=2x²-3x+1=（x-1）（2x-1）
令f′(x)＞0⇒x＜

1

2

或x＞1，
故f（x）的单调增区间为(-∞，

1

2

)和(1，+∞)
令f′(x)＜0⇒

1

2

＜x＜1，
故f（x）的单调减区间为(

1

2

，1)
（2）f′（x）=2x²+2ax+1，
若f（x）存在极值，
则△=(2a)2-4×2＞0⇒a＜-

2

或a＞

2

．
∴a的取值范围是（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞）．
（3）f′(sinx)=2sin2x+2asinx+1=2(sinx+

a

2

)2+1-

a2

2

，
（i）若-

a

2

≤-1，即a≥2时，g（a）=f（-1）=3-2a；
（ii）若-1＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜2时，g(a)=f(-

a

2

)=1-

a2

2

；
（iii）若-

a

2

≥1，即a≤-2时，g（a）=f（1）=3+2a
综上g(a)=

3-2a，a≥2 1- a2 2 ，-2＜a＜2 3+2a，a≤-2

．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的最小值的表达式的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．