Question

函数f（x）=2cos（2x-θ+

π

6

）（0＜θ＜

π

2

）是偶函数．
（Ⅰ）求θ；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

2

3

倍，再向左平移

π

18

个单位，最后向上平移1个单位得到y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）-

2

m

-1=0在x∈[-

π

6

，

π

6

]有两个不同的根α，β，求实数m的取值范围及α+β的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据f（x）是偶函数，且0＜θ＜

π

2

，求出θ的值；
（Ⅱ）由图象平移求出函数y=g（x）的解析式，再根据余弦函数的图象求出m的取值范围，利用反三角函数求出α、β的值，即可求α+β．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（2x-θ+

π

6

）是偶函数，且0＜θ＜

π

2

，
∴θ=

π

6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2cos2x，
将函数y=f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

2

3

倍，得y=2cos3x的图象；
再向左平移

π

18

个单位，得y=2cos3（x+

π

18

）=2cos（3x+

π

6

）的图象；
最后向上平移1个单位得y=2cos（3x+

π

6

）+1的图象；
∴y=g（x）=2cos（3x+

π

6

）+1；
又∵g（x）-

2

m

-1=0，
即2cos（3x+

π

6

）+1-

2

m

-1=0，
∴cos（3x+

π

6

）=

1

m

；
在x∈[-

π

6

，

π

6

]时，
3x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
y=cos（3x+

π

6

）=

1

m

有两个不同的根α，β，
∴

1

2

≤

1

m

＜1，
解得1＜m≤2；
∴实数m的取值范围是（1，2]；
又∵cos（3x+

π

6

）=

1

m

，
∴3x+

π

6

=arccos

1

m

，或-arccos

1

m

；
即α=-

π

18

+

1

3

arccos

1

m

，β=-

π

18

-

1

3

arc

1

m

；
∴α+β=-

π

9

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了由三角函数的值求角的问题，是中档题．