Question

已知点A₁（-2，0），A₂（2，0），过点A₁的直线l₁与过点A₂的直线l₂相交于点M，设直线l₁斜率为k₁，直线l₂斜率为k₂，且k₁k₂=-

3

4

．
（1）求直线l₁与l₂的交点M的轨迹方程；
（2）已知F₂（1，0），设直线l：y=kx+m与（1）中的轨迹M交于P、Q两点，直线F₂P、F₂Q的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点M（x，y），由已知条件推导出k1•k2=

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件求出直线PQ的方程为y=k（x-4）．由此能证明直线PQ过定点（4，0）．

解答： （1）解：设点M（x，y），
∵点A₁（-2，0），A₂（2，0），
过点A₁的直线l₁与过点A₂的直线l₂相交于点M，
直线l₁斜率为k₁，直线l₂斜率为k₂，且k₁k₂=-

3

4

，
∴k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

，
由k1•k2=

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，整理得

x2

4

+

y2

3

=1
∵由题意点M不与A₁（-2，0），A₂（2，0）重合，
∴点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹上，
∴点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（2）证明：由题意知，直线l的斜率存在且不为零，
联立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2= -8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2

，
且kF1P=

kx1+m

x1-1

，kF1Q=

kx2+m

x2-1

，
由已知α+β=π，得kF1P+kF1Q=0，
∴

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

4m2-12

3+4k2

-

8mk(m-k)

3+4k2

-2m=0，
整理，得：m=-4k，
∴直线PQ的方程为y=k（x-4）．
∴直线PQ过定点，该定点坐标为（4，0）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．