Question

已知矩阵

x 2

3 1

的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：选作题,矩阵和变换

分析：根据特征多项式的一个零点为4，可得x=2，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ₂=-1．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．

解答： 解：矩阵的特征多项式为f（λ）=

.

λ-x -3 -2 λ-1

.

=（λ-1）（λ-x）-6．
∵λ₁=方4程f（λ）=0的一根，
∴（4-1）（4-x）-6=0，可得x=2．
∴方程f（λ）=0即（λ-1）（λ-2）-6=0，可得另一个特征值为：λ₂=-1，
设λ₂=-1对应的一个特征向量为

α

=

x y

，
则

2x+3y=-x 2x+y=-y

得x=-y，可令x=1，则y=-1，
∴矩阵的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为

α

=

1 -1

．

点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．