Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上．又知此抛物线上一点A（1，m）到焦点的距离为3．
（Ⅰ）求此抛物线的方程；
（Ⅱ）若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），由题意推导出1+

p

2

=3，由此能求出抛物线的方程．
（2）由

y2=8x y=kx-2

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出k的值．

解答： （本小题12分）
解：（1）由题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），…（1分）
其准线方程为x=-

p

2

，
∵A（1，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，
此抛物线上一点A（1，m）到焦点的距离为3，
∴1+

p

2

=3，∴p=4．…（3分）
∴此抛物线的方程为y²=8x．…（4分）
（2）由

y2=8x y=kx-2

，消去y得k²x²-（4k+8）x+4=0，…（6分）
∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A、B，
则有

k≠0 △＞0

，解得k＞-1且k≠0．…（8分）
又∵x₁+x₂=

4k+8

k2

=4，…（10分）
解得k=2或k=-1（舍去）．
∴所求k的值为2．…（12分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的这数值的求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．