Question

已知p：直线x-2y+3=0与抛物线y²=ax（a＞0）没有交点；q：方程

x2

4-a

+

y2

a-1

=1表示椭圆；若p∧q为真命题，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由p∧q为真命题，得p为真命题且q为真命题；p为真命题时求出a的取值范围，q为真命题时求出a的取值范围，取交集即可．

解答： 解：∵p∧q为真命题，∴p为真命题且q为真命题；
命题p：

x-2y+3=0 y2=ax

，
消去x，得y²-2ay+3a=0；
∵直线与抛物线没有交点，
∴△=4a²-12a＜0，解得0＜a＜3；
命题q：方程

x2

4-a

+

y2

a-1

=1表示椭圆，
则

4-a＞0 a-1＞0 4-a≠a-1

；
解得1＜a＜4，且a≠

5

2

；
由上可知，a的取值范围是（1，

5

2

）∪（

5

2

，3）．

点评：本题通过复合命题的真假，考查了圆锥曲线的应用问题，解题时应根据复合命题的真假性，求出命题成立的条件是什么，从而解出结果，是基础题．