Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A₁，A₂，B₁，B₂椭圆顶点，F₂为右焦点，延长B₁F₂与A₂B₂交于点P，若∠B₁PA₂为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A、（

  5 -2

  2

  ，0）
• B、（0，

  5 -2

  2

  ）
• C、（0，

  5 -1

  2

  ）
• D、（

  5 -1

  2

  ，1）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意得出∠B₁PA₂是向量

B2A2

与

F2B1

的夹角，设出椭圆的方程，利用坐标表示出

B2A2

、

F2B1

；再由数量积

B2A2

•

F2B1

＜0，求出椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：如图所示，
∠B₁PA₂是

B2A2

与

F2B1

的夹角；
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
则

B2A2

=（a，-b），

F2B1

=（-c，-b）；
∵向量的夹角为钝角时，

B2A2

•

F2B1

＜0，
∴-ac+b²＜0，
又b²=a²-c²，
∴a²-ac-c²＜0；
两边除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0；
解得e＜

-1- 5

2

，或e＞

-1+ 5

2

；
又∵0＜e＜1，∴

-1+ 5

2

＜e＜1；
∴椭圆离心率e的取值范围是（

-1+ 5

2

，1）．
故选：D．

点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时利用向量的数量积小于0，建立不等式，求出正确的结论，是中档题．