Question

数列{a_n}中满足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

．
（1）求出a₂，a₃，a₄．
（2）猜想通项公式a_n
（3）用数学归纳法证明通项公式．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列{a_n}中满足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

，求出a₂，a₃，a₄．
（2）总结出规律求出a_n；
（3）利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）∵a₁=a，a_n+1=

1

2-an

，
∴a2=

1

2-a

，a3=

2-a

3-2a

，a4=

3-2a

4-3a

；
（2）由（1）猜想通项公式an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

；
（3）①n=1时，成立，
②假设n=k时成立，即a_k=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

，
则n=k+1时，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- (k-1)-(k-2)a k-(k-1)a

=

k-(k-1)a

k+1-ka

，
即n=k+1时，成立．
由①②可知an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

．

点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．