Question

如图，点F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，定点P的坐标为（-8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为

1

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）记△ABF的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

2a=8 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线AB的斜率为0时，成立；当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my-8，代入椭圆方程整理，得：（3m²+4）y²-48my+144=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠AFM=∠BFN．
（3）由已知条件推导出S=S_△PBF-S_△PAF≤3

3

，由此能求出△ABF的面积S的最大值为3

3

．

解答： （1）解：∵|MN|=8，且该椭圆的离心率为

1

2

，
∴

2a=8 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，
解得a=4，b=

12

，
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）证明：当直线AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0°，成立；
当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理，得：（3m²+4）y²-48my+144=0，
∴△=576（m²-4），设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
yA+yB=

48m

3m2+4

，y_Ay_B=

144

3m2+4

，
∴k_AF+k_BF=

yA

xA+2

+

yB

xB+2

=

yA

myA-6

+

yB

myB-6

=

yA(myB-6)(myA-6)

(myA-6)(myB-6)

=

2myAyB-6(yA+yB)

(myA-6)(myB-6)

，
∵2myAyB-6(yA+yB)=2m•

144

3m2+4

-6•

48m

3m2+4

=0，
∴k_AF=-k_BF，
∴∠AFM=∠BFN．
（3）解：S=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

•|PF|•|yB-yA|
=

72• m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，
当且仅当3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

（此时△＞0）时取等号，
∴△ABF的面积S的最大值为3

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两角相等的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．