Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求出函数y=f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的单调递减区间．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）由x的范围确定出2x-

π

4

的范围，利用正弦函数的单调性求出f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的单调递减区间即可．

解答： 解  （1）f（x）=2sin²x+2sinxcosx=2×

1-cos2x

2

+sin2x=1+sin2x-cos2x=1+

2

sin（2x-

π

4

），
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
则f（x）的最小正周期为π；
（2）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

5π

4

，

3π

4

]，
令-

5π

4

≤2x-

π

4

≤-

π

2

或

π

2

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
解得：-

π

2

≤x≤-

π

8

或

3π

8

≤x≤

π

2

，
则函数y=f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的单调递减区间为[-

π

2

，-

π

8

]∪[

3π

8

，

π

2

]．

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．