Question

如果数列a₁，

a2

a1

，

a3

a2

，…

an

an-1

，…是首项为1，公比q=2的等比数列．
（1）求a₂、a₃的值；
（2）求满足不等式

n	an

≥2013的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

an

an-1

=2^n-1，由此能求出a₂、a₃的值．
（2）由（1）利用累乘法能求出a_n=2

n(n+1)

2

，由此能求出满足不等式

n	an

≥2013的正整数n的最小值．

解答： 解：（1）∵数列a₁，

a2

a1

，

a3

a2

，…

an

an-1

，…是首项为1，公比q=2的等比数列，
∴

an

an-1

=2^n-1，
∴a2=22-1a1=2，
a3 =2^3-1a₂=4×2=8．
（2）a_n=a₁•

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an

an-1

=1×2×2²×2³×…×2ⁿ
=2^{0+1+2+3+…+n}
=2

n(n+1)

2

，
∵不等式

n	an

≥2013，
∴

n	2 n(n+1) 2

=2

n+1

2

≥2013，
∵2¹⁰=1014，211 =2028，
∴满足不等式

n	an

≥2013的正整数n的最小值满足

n+1

2

=11，
解得n=21．

点评：本题考查数列中的项的求法，考查满足条件的最小值的求法，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．