题目内容

在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，BF与CD交于点O，设
AB
=
a
，
AC
=
b

证明：A、O、E三点在同一直线上，且
OA
OE
=
BO
OF
=
CO
OD
=2．
考点：平行向量与共线向量
专题：平面向量及应用
分析：由BF与CD交于点O，把
AO
分两种情况用基底＜
a
，
b
＞线性表示，即
AO
=(1-λ)
a
+
λ
2
b
=
μ
2
a
+(1-μ)
b
，再利用向量相等的条件列式求得λ，μ的值，代入
AO
=
μ
2
a
+(1-μ)
b
进一步可得
AO
=
2
3
AE
，从而得到A、O、E三点在同一直线上，并得到
OA
OE
=
BO
OF
=
CO
OD
=2．
解答： 证明：∵BF与CD交于点O，
∴
BO
与
BF
共线，故可设
BO
=λ
BF
，
根据三角形加法法则：
AO
=
AB
+
BO

=
AB
+λ
BF
=
AB
+λ(
AF
-
AB
)=
AB
+λ(
1
2
AC
-
AB
)
=
λ
2
AC
+(1-λ)
AB
=(1-λ)
a
+
λ
2
b
，
CO
与
CD
共线，故可设
CO
=μ
CD
，
根据三角形加法法则：
AO
=
AC
+
CO

=
AC
+μ
CD
=
AC
+μ(
AD
-
AC
)=
AC
+μ(
1
2
AB
-
AC
)
=
μ
2
AB
+(1-μ)
AC
=
μ
2
a
+(1-μ)
b
．
∴
AO
=(1-λ)
a
+
λ
2
b
=
μ
2
a
+(1-μ)
b
．
则
1-λ=
μ
2
λ
2
=1-μ
，解得：
λ=
2
3
μ=
2
3
．
∴
BO
=
2
3
BF
，
CO
=
2
3
CD
，
即BO：OF=CO：OD=2．
∴
AO
=
μ
2
a
+(1-μ)
b
=
1
3
a
+
1
3
b
，
又∵
AE
=
AB
+
BE
=
a
+
1
2
BC
=
a
+
1
2
(
AC
-
AB
)
=
a
+
1
2
(
b
-
a
)=
1
2
a
+
1
2
b
，
从而
AO
=
2
3
AE
，
即
AO
与
AE
共线，
∴A、O、E三点在同一直线上．
且
OA
OE
=2，
∴
OA
OE
=
BO
OF
=
CO
OD
=2．
点评：本题考查平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，解答此题的关键在于把所用向量用基底表示，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
若实数x，y满足不等式组
4-x≥0
y≤x
2x+y+k≤0
且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（　　）
A、-12
B、-
32
3
C、-9
D、-
14
3
已知
OA
=(2，2)，
OB
=(4，1)，
OP
=(x，0)，则当
AP
•
BP
最小时x的值是（　　）
A、-3B、3C、-1D、1
若双曲线
x2
a2
-
y2
9
=1(a＞0)的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则双曲线的离心率是（　　）
A、
4
3
B、
5
3
C、
5
4
D、
3
2
甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为
2
3
，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．
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（2）求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．
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a2
a1
，
a3
a2
，…
an
an-1
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nan
≥2013的正整数n的最小值．
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x3-24
3
y-2
3
0-4-
3
2
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（2）若l与Γ1交于C、D两点，F0为Γ1的左焦点，求
S△F0AB
S△F0CD
的最小值；
（3）点P、Q是Γ1上的两点，且OP⊥OQ，求证：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
为定值；反之，当
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
为此定值时，OP⊥OQ是否成立？请说明理由．
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2
2
，SA=SB=
3
．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求二面角C-SD-A的余弦值．
若
1+sinα
1-sinα
-
1-sinα
1+sinα
=2tanα，求角α的取值范围．

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