Question

设-

2

≤a＜0，已知函数f（x）=（sinx+a）（cosx+a），x∈[0，

π

2

]，求该函数的最值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：展开函数f（x）后整理，然后令sinx+cosx=t，由x得范围求得t的范围，把sinx+cosx=t两边平方后用t表示sinxcosx，则原函数化为关于t的二次函数，结合t的范围与a的范围利用函数单调性求最值．

解答： 解：设sinx+cosx=t，
则t=sinx+cosx=

2

(

2

2

sinx+

2

2

cosx)=

2

sin(x+

π

4

)，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴t∈[-

2

，

2

]，
∵t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，
∴sinxcosx=

t2-1

2

，
则y=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²
=

t2-1

2

+at+a2=

1

2

(t+a)2+

a2-1

2

．
对称轴为t=-a，
∵-

2

≤t≤

2

，-

2

≤-a＜0，
∴当t=-a时，y取最小值

a2-1

2

，
当t=

2

时，y取最大值a2+

2

a+

1

2

．

点评：本题考查三角函数最值的求法，训练了换元法，考查了利用配方法及二次函数单调性求二次函数的最值，是中档题．