Question

设a＞0，a_n=n•aⁿ，若{a_n}是单调递减数列，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用{a_n}是单调递减数列，可得a_n+1-a_n=（n+1）aⁿ⁺¹-naⁿ＜0，由于a＞0，可得a＜1-

1

n+1

，再利用
{

1

n+1

}的单调性即可得出．

解答： 解：∵a_n=n•aⁿ，∴an+1=(n+1)•an+1，
∵{a_n}是单调递减数列，
∴a_n+1-a_n=（n+1）aⁿ⁺¹-naⁿ＜0，
∵a＞0，
∴

an+1

an

＜

n

n+1

=1-

1

n+1

，
∴a＜1-

1

n+1

，
∵n≥1，
∴1-

1

n+1

≥

1

2

．
∴a的取值范围是（0，

1

2

）．
故答案为：（0，

1

2

）．

点评：本题考查了数列的单调性，属于基础题．