Question

对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则称x₀是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：
①f（x）=x²，g（x）=2x-3        
②f（x）=

x

，g（x）=x+2
③f（x）=e^-x，g（x）=-

1

x

          
④f（x）=lnx，g（x）=x-

1

2

其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：根据“友好点”的定义，分别进行判断即可．

解答： 解：①f（x）-g（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，∴要使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，不可能，不满足条件，
∴在区间（0，+∞）上的不存在唯一“友好点”，∴①不正确．
②g（x）-f（x）=x-

x

+2=（

x

-

1

2

）²+

7

4

≥

7

4

＞1，∴不存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．
③设h（x）=f（x）-g（x）=e^-x+

1

x

，则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀不唯一，
∴③满足条件，∴③正确．
④h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx-

1

2

，（x＞0），h′（x）=1-

1

x

，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1-0=1，
∴g（x）-f（x）≥1，
∴当x₀=1时，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀唯一，∴④满足条件．
故选：C．

点评：本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力．