Question

如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是

 

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Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：利用线面垂直的判定与性质定理、圆的性质即可得出．

解答： 解：①∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∵AE?平面PAC．
∴BC⊥AE．
因此①正确．
④由①可知：AE⊥BC，
又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．
因此④正确．
②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．
又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF，
∴PB⊥EF．
因此②正确．
③AF⊥BC不正确；
用反证法证明：假设AF⊥BC，
又AF⊥PB，PB∩BC=B．
∴AF⊥平面PBC．
这与AE⊥平面PBC相矛盾．因此假设不成立．
故③不正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质，属于中档题．