Question

（理做）已知函数f（x）=2^x-2^-|x|，
（1）若f（x）=0，求x的值；
（2）若对于t∈[1，2]时，不等式2f（2t）+mf（t）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，化简f（x）=0，然后，针对a进行讨论；
（2）首先，将问题进行等价转化：得到m≥-（4^t+1）恒成立，也就是m大于或等于-（4^t+1）的最大值-5，最后，得到结果．

解答： 解：（1）f（x）=0，
即2^x-2^-|x|=0，
当x≥0，即2^x-2^-x=0，
化简，得4^x=1，
∴x=0，
当x＜0，即2^x-2^x=0，
即0=0，恒成立
综上，x的值（-∞，0]．
（2）2f（2t）+mf（t）=2（22t-

1

22t

+m(2t-

1

2t

)≥0，
化简，得
(2t-

1

2t

)(4t+1+m)≥0，
∵t∈[1，2]，
∴2^t＞

1

2t

，
∴4^t+1+m≥0，
即m≥-（4^t+1）恒成立，
也就是m大于或等于-（4^t+1）的最大值-5，
∴m≥-5，
∴实数m的取值范围[-5，+∞）．

点评：本题重点考查了函数的性质、函数的单调性和幂的运算性质等知识，属于中档题．