Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+1，若f（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，函数g（x）=2x+3，
（1）求a与b的值； 
（2）解不等式f（x）＞g（x）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）一元二次不等式ax²+bx+1＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，所以-2，1是一元二次方程ax²+bx+1=0的两根，根据韦达定理便有：

-2+1=- b a (-2)•1= 1 a

，所以解该方程组即得a=-

1

2

，b=-

1

2

；
（2）将f（x），g（x）带入f（x）＞g（x）即可得到关于x的一元二次不等式：-

1

2

x2-

1

2

x+1＞2x+3，解该不等式即可．

解答： 解：（1）∵ax²+bx+1＞0的解集为{x|-2＜x＜1}；
则-2，1是方程 ax²+bx+1=0两根；
∴

-2+1=- b a (-2)×1= 1 a

，∴

a=- 1 2 b=- 1 2

；
（2）f（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1，则-

1

2

x2-

1

2

x+1＞2x+3，即x²+5x+4＜0；
解得-4＜x＜-1，∴不等式的解集为{x|-4＜x＜-1}．

点评：考查一元二次不等式的解和对应一元二次方程根的关系，韦达定理，以及解一元二次不等式．