Question

正三棱锥D-ABC中，底面三角形ABC的面积为4

3

，A₁、B₁、C₁是棱DA、DB、DC的中点，E、F在线段A₁B₁、A₁C₁上，且EF∥B₁C₁．则△AEF和四边形EFCB在底面ABC上的射影的面积之和为（　　）

• A、

  2 3

  3

• B、

  4 3

  3

• C、

  8 3

  3

• D、与EF位置有关，总面积不确定

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：首先，设

EF

B1C1

=k，然后，根据S_△ABC=4

3

，得到AB=4，从而得到EF=2k．最后，建立面积关系式，进行判断即可．

解答： 解：由题意设

EF

B1C1

=k，
∵

BC

B1C1

=2，
∴

EF

BC

=

k

2

，
∵S_△ABC=4

3

，
∴AB=4，∴EF=2k．
∴△AEF在底面ABC上的射影的面积：

1

2

2

3

k×2k=2

3

k²，
∴四边形EFCB在底面ABC上的射影的面积：

1

2

（4+2k）（2

3

-2

3

k）=2

3

（-k²-k+2）
∴△AEF和四边形EFCB在底面ABC上的射影的面积之和为：
4

3

-2

3

k，
故面积与k有关，
即与EF的位置有关，
故选：D．

点评：本题重点考查了空间中面积的计算等知识，属于中档题．