Question

已知函数f（x）=log

1

2

(x2-2ax+4)，
（1）已知函数的值域为R，求a的取值范围；
（2）当a为何值时，f（x）在[1，+∞）上有意义．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的值域

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）直接由对数式的真数所对应的方程的判别式大于等于0得答案；
（2）把f（x）在[1，+∞）上有意义转化为2a＜x+

4

x

对于x∈[1，+∞）恒成立，借助于不等式求出x+

4

x

在x∈[1，+∞）上的最小值得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log

1

2

(x2-2ax+4)的值域为R，
则x²-2ax+4能够取得大于0的所有实数，即
△=（-2a）²-4×1×4≥0，解得：a＜-2或a＞2．
∴a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）；
（2）f（x）在[1，+∞）上有意义，即
x²-2ax+4＞0，也就是2a＜x+

4

x

对于x∈[1，+∞）恒成立，
∴2a＜(x+

4

x

)min
∵x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4（当且仅当x=2时等号成立）．
∴a＜2．

点评：本题考查了对数不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．