Question

函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：把函数分解为g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

，h（x）=cos2x，利用导数，三角函数判断即可．

解答： 解：∵函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

）cos2x，
∴设g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

，h（x）=cos2x，
∴g′（x）=1-x+x²＞0恒成立，
即g（x）为单调递增函数，
g（0）=1，g（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

＜0
有一个零点在（-1，0）
由cos2x=0求x的个数，由2x=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

4

，k∈z，又x∈[-3，3]，∴

π

4

，

3π

4

，-

π

4

，-

3π

4

为零点
所以cos2x=0有4个零点，
g（-

π

4

）≠0，
可以判断函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为5个
故答案为：5

点评：本题主要考查函数的零点，分类讨论的数学思想，分解为简单的函数，属于中档题．