Question

偶函数f（x）=e^x+ae^-x（e为自然对数的底数）在（0，+∞）上（　　）

• A、有最大值
• B、有最小值
• C、单调递增
• D、不单调

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得 f（-x）=f（x），化简可得（a-1）e^x=（a-1）e^-x，解得a的值，可得f（x）=e^x+e^-x ，根据导数的符号可得f（x）在（0，+∞）上单调递增．

解答： 解：由于数f（x）=e^x+ae^-x 为偶函数，∴f（-x）=f（x），即 e^-x+a•e^x=e^x+a•e^-x，
∴（a-1）e^x=（a-1）e^-x，即（a-1）（e^x-e^-x）=0对任意的实数恒成立，
∴只有a-1=0，解得a=1，∴f（x）=e^x+e^-x ，
令f′（x）=e^x-e^-x=0，求得x=0，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故函数单调递增，
故选：C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的判断，属于中档题．