Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|≤

π

2

），它的一个最高点为（

8

3

，1）以及相邻的一个零点是

14

3

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求g（x）=f（x）-2cos²

π

8

x+1，x∈[

2

3

，2]的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由

1

4

T=2⇒T=8，继而可得ω；由

8

3

ω+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），|φ|≤

π

2

，可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换可求得g（x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），

2

3

≤x≤2⇒-

π

6

≤

π

4

x-

π

3

≤

π

6

，利用正弦函数的单调性即可求得x∈[

2

3

，2]时y=g（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵

1

4

T=

14

3

-

8

3

=2，
∴T=

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

；
又

8

3

ω+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z．
∴φ=2kπ-

π

6

，k∈Z．
又|φ|≤

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=sin（

π

4

x-

π

6

）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=g（x）=sin（

π

4

x-

π

6

）-2cos²

π

8

x+1
=

3

2

sin

π

4

x-

1

2

cos

π

4

x-cos

π

4

x
=

3

（

1

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x）
=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），
当

2

3

≤x≤2时，-

π

6

≤

π

4

x-

π

3

≤

π

6

，
∴-

1

2

≤sin（

π

4

x-

π

3

）≤

1

2

，
∴-

3

2

≤

3

sin（

π

4

x-

π

3

）≤

3

2

．
∴y=g（x）的值域为[-

3

2

，

3

2

]．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，着重考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定及正弦函数的单调性，属于中档题．