Question

已知关于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0；
（1）若该方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，求实数m的取值范围．
（2）若该方程的两个根都在（0，1）内且它们的平方和为1，求实数m的取值集合．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）构造函数，根据方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，有f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，从而求实数m的取值范围；
（2）由题意，设x1=sinα，x2=cosα，α∈(0，

π

2

)，利用韦达定理，即可得到不等式，从而可求实数m的取值集合．

解答： 解：（1）记f（x）=4x²-2（m+1）x+m，则
∵方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，
∴有f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，
即

m＞0 4-2(m+1)+m＜0 16-4(m+1)+m＞0

，
解得：2＜m＜4．
（2）由题意，设x1=sinα，x2=cosα，α∈(0，

π

2

)，
则有

△≥0 sinα+cosα= m+1 2 sinαcosα= m 4 sinα＞0，cosα＞0

，
解得m=

3

，检验符合题意．
∴m∈{

3

}．

点评：本题考查方程根的讨论，考查函数与方程思想，考查学生的计算能力，正确建立不等式是关键．