Question

14．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M，N分别是AB₁，BB₁的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式、数量积的运算性质即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），N（2，2，1），B₁（2，2，2）．
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{CN}$=（2，0，1）．
∴cos$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{CN}＞$=cos$＜\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{CN}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{CN}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直线AM与CN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选：B．

点评 本题考查了通过求向量的夹角公式求异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．