Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，$\frac{S_n}{n}$=a_n+1-（n+1）（n∈N^*），则满足不等式a_nS_n≤2200的最大正整数n的值为10．

Answer 1

分析 由$\frac{S_n}{n}$=a_n+1-（n+1）（n∈N^*），可得S_n=na_n+1-n（n+1），利用递推关系可得：a_n+1-a_n=2．利用等差数列的通项公式及其求和公式可得a_n，S_n．代入a_nS_n≤2200化简整理即可得出．

解答 解：∵$\frac{S_n}{n}$=a_n+1-（n+1）（n∈N^*），∴S_n=na_n+1-n（n+1），
∴n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-（n-1）n，相减可得：a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，首项为2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n（n+1）．
∴a_nS_n≤2200化为：2n•n（n+1）≤2200，即n²（n+1）≤1100=10²×11，
∴n≤10．
∴满足不等式a_nS_n≤2200的最大正整数n的值为10．
故答案为：10．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、递推关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．