Question

19．已知$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}$sinx，2），$\overrightarrow n$=（2cosx，cos²x），f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的解析式及最小正周期
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，再利用三角函数的周期性，得出结论．
（2）根据正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinx，2）$，$\overrightarrow n=（2cosx，{cos^2}x）$，∴f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的 最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，求得$2kπ-\frac{2π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{π}{3}$，∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，
所以f（x）的单调递增区间$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和单调性，属于基础题．