Question

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换化简即可．
（Ⅱ）求出圆的直角坐标方程，利用直线和圆相交的弦长公式进行计算即可．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，消去参数t得直线的普通方程为y=$\sqrt{3}$x，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴ρsinθ=$\sqrt{3}$ρcosθ，
即tanθ=$\sqrt{3}$，则θ=$\frac{π}{3}$，
即直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，即x²+y²-4y=0，
则x²+（y-2）²=4，
圆心（0，2）到直线$\sqrt{3}$x-y=0的距离d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2}{2}=1$，
则直线l被圆C截得的弦长为2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$

点评 本题考查曲线参数方程，极坐标和直角坐标的互化，根据相应的转化公式进行转化是解决本题的关键．