Question

5．现用数学归纳法证明“空间中n个平面，最多将空间分成$\frac{{{n^3}+5n+6}}{6}$个区域”，过程中由n=k到n=k+1时，应证明区域个数增加了（　　）

• A． $\frac{{{k^2}+k+2}}{2}$
• B． k²+k+2
• C． $\frac{{{k^2}+k}}{6}$
• D． $\frac{{{k^2}+1}}{6}$

Answer 1

分析 根据空间平面知识得到再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划最多分成$\frac{1}{2}$[（k+1）²-（k+1）+2]=$\frac{{k}^{2}+k+2}{2}$个部分，问题得以解决．

解答 解：当n=k时，a_k=$\frac{{k}^{3}+5k+6}{6}$，
当n=k+1时，再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划最多分成$\frac{1}{2}$[（k+1）²-（k+1）+2]=$\frac{{k}^{2}+k+2}{2}$个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了$\frac{{k}^{2}+k+2}{2}$个个，
故选：A．

点评 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若（1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．