Question

已知直线l：ax+by+c=0被圆C：x²+y²=10截得的弦的中点为M，若a+3b-c=0，O为坐标原点，则
（1）点M的轨迹方程为

 

；
（2）|OM|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆相交的性质，利用条件消去参数a，b，c即可得到结论．
（2）直线ax+by+c=0过定点N（-1，-3），根据点和圆的位置关系即可得到结论．

解答： 解：（1）若直线l：ax+by+c=0被圆C：x²+y²=10截得的弦的中点为M，
则满足OM⊥l，
设M（x，y），
则

y

x

=

b

a

，即a=

bx

y

，
∵a+3b-c=0，
∴c=a+3b=

bx

y

+3b，
将a，c代入直线ax+by+c=0得

bx

y

x+by+

bx

y

+3b=0，
整理得x²+y²+x+3y=0，
故点M的轨迹方程为x²+y²+x+3y=0；
（2）∵M的轨迹方程为x²+y²+x+3y=0，a+3b-c=0，
∴-a-3b+c=0，
即直线l：ax+by+c=0过定点N（-1，-3），
而点N（-1，-3）在圆x²+y²=10上，
∴|OM|的最大值为

(1-0)2+(3-0)2

=

10

．
故答案为：x²+y²+x+3y=0，

10

．

点评：本题主要考查与圆有关的轨迹问题．利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．