Question

a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bcosC+

3

bsinC-a-c=0
（1）求证A，B，C成等差数列；
（2）若a=2，△ABC的面积为

3

，求b，c；
（3）若a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值；
（4）求sinA+sinC的取值范围；
（5）若b=

3

，求2a+c的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到cosB=

1

2

，从而可证明sin2B=sin（A+C），可得2B=A+C，即可证明A，B，C成等差数列；
（2）由三角形面积公式，余弦定理即可求值；
（3）由b²=ac，cosB=

1

2

，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（4）由三角形的内角和定理及B的度数，表示出A+C的度数，用A表示出C，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．
（5）由已知可得a+c=2

3

sin（C+

π

6

），由于

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，则

1

2

sin（C+

π

6

）≤1，即可求得a+c的取值范围．

解答： 解：（1）∵bcosC+

3

bsinC-a-c=0，
∴利用正弦定理化简得：sinBcosC+

3

sinBsinC-sinA-sinC=0，…①
即sinBcosC+

3

sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），
∴

3

sinB=cosB+1，即sin（B-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

，
∴B-

π

6

=

π

6

，即B=

π

3

；
∴cosB=

1

2

∴sin2B=2sinBcosB=sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）
∴2B=A+C
∴A，B，C成等差数列．
（2）将bcosC+

3

bsinC-a-c=0，利用正弦定理化简得：sinBsinC+

3

sinBsinC-sinA-sinC=0，
即sinBsinC+

3

sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，
∴

3

sinB=cosB+1，即sin（B-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

，
∴B-

π

6

=

π

6

，即B=

π

3

；
∵a=2
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3

，
∵c=2，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=4+4-2×2×2×

1

2

=4，即可解得：b=2．
（3）由已知b²=ac，根据正弦定理得sin²B=sinAsinC，
又cosB=

1

2

，
∴sinAsinC=1-cos²B=

3

4

（4）∵A+B+C=π，B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
则sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵A为三角形的内角，且B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，即

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴sinA+sinC的取值范围是（

3

2

，

3

）．
（5）A+C=π-B=

2π

3

，则0＜C＜

2π

3

，
则a+c=bcosC+

3

bsinC=

3

cosC+3sinC=2

3

（

1

2

cosC+

3

2

sinC）=2

3

sin（C+

π

6

），
由于

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，则

1

2

sin（C+

π

6

）≤1，
则a+c的取值范围是（

3

，2

3

]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，正弦定理、余弦定理的综合应用，熟练掌握公式是解本题的关键，题量较大，属于中档题．