Question

19．已知圆C过点P（1，4），Q（3，2），且圆心C在直线x+y-3=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：kx-y-2k+1=0与圆C交于A，B两点，当|AB|最小时，求直线l的方程及|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆的标准方程，利用待定系数法求解即可；
（Ⅱ）直线转化为点斜式，得出过定点M（2，1），显然点M在圆内，利用数形结合可知当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
∴a+b-3=0，
（1-a）²+（4-b）²=r²，
解得：a=1，b=2，r=2，
∴圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，
（Ⅱ）直线L的方程可化为y-1=k（x-2），
∴过定点M（2，1），显然点M在圆内，
∴当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，
∵k_cm=-1，
∴k=1，
∴L的方程为x-y-1=0．
∵|CM|=$\sqrt{2}$，r=2，
∴|AB|=2$\sqrt{2}$．

点评 考查了圆方程的求解和数形结合的应用，难点是对直线方程横过圆内定点的理解和应用．