Question

7．如图1，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，CC₁=AB=AC=2，∠BAC=90°，D为BC的中点．
（Ⅰ）（图2）给出了该三棱柱三视图中的正视图，请据此在框内对应位置画出它的侧视图；
（Ⅱ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）若点P是线段A₁C上的动点，求三棱锥P-AB₁D的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（图2）给出了该三棱柱三视图中的正视图，根据直观图可得侧视图；
（Ⅱ）求连接A₁C交A₁C于A₁C点，连接A₁C，则A₁C为A₁C的中点，证明A₁C∥A₁C，即可证明A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求出点P到平面AB₁D的距离等于点C到平面AB₁D的距离，利用等体积转化，即可求三棱锥P-AB₁D的体积．

解答 解：（Ⅰ）该三棱柱的左视图如下
…（3分）
证明：（Ⅱ）连接A₁C交A₁C于A₁C点，连接A₁C，则A₁C为A₁C的中点．

又∵A₁C为A₁C的中点，
∴A₁C是A₁C的中位线．
∴A₁C∥A₁C．…（5分）
∵AB₁D平面AB₁D，AB₁D平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…（7分）
解：（Ⅲ）∵AA₁⊥底面ABC，且CC₁=AB=AC=2，∠BAC=90°．
∴AD⊥BC，且$AD=\sqrt{2}，DC=\sqrt{2}$，故${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AD•DC=1$．…（8分）
又∵点P是线段A₁C上的动点，由（Ⅱ）可知A₁C∥平面AB₁D，
故点P到平面AB₁D的距离等于点C到平面AB₁D的距离．…（9分）
∴${V_{P-A{B_1}D}}={V_{C-A{B_1}D}}={V_{{B_1}-ACD}}$．…（11分）
又∵BB₁⊥面ABC，
∴$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•B{B_1}$═$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•B{B_1}$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．
即三棱锥P-AB₁D的体积为$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查的是三视图，考查线面平行的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．