Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∠B₁A₁C₁=90°，D、E分别为CC₁和A₁B₁的中点，且A₁A=AC=2AB=2．
（1）求证：C₁E∥平面A₁BD；
（2）求三棱锥C₁-A₁BD的体积．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中点F，连结EF，FD．则可证明四边形EFDC₁是平行四边形，故而C₁E∥DF，得出结论；
（2）证出A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，则V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BD}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•{A}_{1}{B}_{1}$．

解答 证明：（1）取A₁B的中点F，连结EF，FD．
∵E，F是A₁B₁，A₁B的中点，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，
又BB₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，D是CC₁的中点，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$C₁D，
∴四边形EFDC₁是平行四边形，
∴C₁E∥DF，又DF?平面A₁BD，C₁E?平面A₁BD，
∴C₁E∥平面A₁BD．
解：（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁B₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁B₁，
∵∠B₁A₁C₁=90°，
∴A₁B₁⊥A₁C₁，
又AA₁?平面AA₁C₁C，A₁C₁?平面AA₁C₁C，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，
∵AA₁∥BB₁，
∴V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BD}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•{A}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．