Question

9．（1）已知a，b，c＞0，求证：$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c；
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}≥8$．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c＞0，可得a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2c，b+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥2a，c+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥2b，相加即可得证；
（2）a＞0，b＞0，a+b=1，可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，求得$\frac{1}{ab}$≥4，即可得证．

解答 证明：（1）由a，b，c＞0，可得：
a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2c，b+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥2a，c+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥2b，
相加可得（a+b+c）+（$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$）≥2（a+b+c），
即有$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c，
当且仅当a=b=c取得等号；
（2）a＞0，b＞0，a+b=1，
可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，即有0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
即为$\frac{1}{ab}$≥4，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥8，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和不等式的性质，考查运算和推理能力，属于中档题．