题目内容
8．求证不等式：xlnx＞-x2+2x-1-$\frac{1}{e}$．分析 构造函数f（x）=xlnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值；g（x）=-x2+2x-1-$\frac{1}{e}$，配方求得最大值，比较即可得证，注意等号不成立．
解答 证明：由函数f（x）=xlnx，可得导数为
f′（x）=lnx+1，由f′（x）=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{e}$；
又g（x）=-x2+2x-1-$\frac{1}{e}$=-（x-1）2-$\frac{1}{e}$，
当x=1时，函数g（x）取得最大值-$\frac{1}{e}$．
由于最值的取得，不同时成立，
则xlnx＞-x2+2x-1-$\frac{1}{e}$成立．
点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求得最值，比较最值，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
12．已知离心率为2的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O是坐标原点．若△AOB的面积为$\sqrt{3}$，则抛物线的方程为（ ）
| A． | y2=2x | B． | y2=3x | C． | y2=4x | D． | y2=6x |
3．抛物线x=4y2的焦点坐标为（ ）
| A． | （$\frac{1}{16}$，0） | B． | （0，$\frac{1}{16}$） | C． | （$\frac{1}{2}$，0） | D． | （0，$\frac{1}{2}$） |
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AAl=2，∠ABC=120°，点P在线段AC1上，且AP=2PCl，M为线段AC的中点．
如图，在四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=AA1=2，AC∩BD=O，E、F分别是线段A1D、BC1的中点，延长D1A1到点G，使得D1A1=AG．
17．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=4x的准线的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
| A． | （1，$\sqrt{3}$） | B． | （1，$\sqrt{5}$） | C． | （$\sqrt{3}$，+∞） | D． | （$\sqrt{5}$，+∞） |