Question

10．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O、M分别为AB、VA的中点；
（1）求证：OC⊥VB；
（2）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知AC=BC，O为AB的中点，可得CO⊥AB，再由平面VAB⊥平面ABC，结合面面垂直的性质可得OC⊥平面VAB，进一步得到OC⊥VB；
（2）把三棱锥V-ABC的体积转化为三棱锥C-VAB的体积求解．

解答 证明：（1）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴CO⊥AB，
又∵平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，面VAB∩面ABC=AB，
∴OC⊥平面VAB，
又∵VB⊆面VAB，
∴OC⊥VB；
解：（2）在等腰直角三角形ACB中，
∵$AC=BC=\sqrt{2}$，
∴AB=2，OC=1，
则等边三角形VAB的面积${S_{△VAB}}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°=\sqrt{3}$，
又∵OC⊥平面VAB，
∴三棱锥C-VAB的体积等于$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，
∴三棱锥V-ABC的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查空间中平面与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求三棱锥的体积，是中档题．