Question

3．已知函数y=cosx的图象与直线x=$\frac{π}{2}$，x=$\frac{3π}{2}$以及x轴所围成的图形的面积为a，则（x-$\frac{a}{x}}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的展开式中的常数项为-200（用数字作答）．

Answer 1

分析 求定积分可得a值，然后求出二项式（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的通项，得到（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的展开式中含x及$\frac{1}{x}$的项，分别与（x-$\frac{a}{x}}$）中的项相乘求得答案．

解答 解：由题意，a=|${∫}_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}cosxdx$|=|$sinx{|}_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}$|=|$sin\frac{3π}{2}-sin\frac{π}{2}$|=2．
故（x-$\frac{a}{x}}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵=（x-$\frac{2}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵．
展开式的常数项由（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 中含x的项乘以$-\frac{2}{x}$再加上含$\frac{1}{x}$的项乘以x得到的．
∵（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 展开式的通项${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（2x）^{5-r}（-1）^{r}•{x}^{-r}=（-1）^{r}{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}$•x^5-2r．
令5-2r=1，得r=2，因此（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 的展开式中x的系数为$（-1）^{2}•{2}^{3}•{C}_{5}^{2}=80$．
令5-2r=-1，得r=3，因此（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 的展开式中$\frac{1}{x}$的系数为$（-1）^{3}•{2}^{5-3}•{C}_{5}^{3}=-40$．
∴（x-$\frac{a}{x}}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的展开式中的常数项为80×（-2）-40=-200．
故答案为：-200．

点评 本题考查定积分，考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是中档题．