Question

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差数列．若d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多项式），则p₁+p₂=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n-1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d_n是首项d₁，公差为d₂-d₁的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d_m的通项，令p₁=2-m，p₂=m-1，得证，求出p₁+p₂即可．

解答： 解：由题意知a_mn=1+（n-1）d_m．
则a_2n-a_1n=[1+（n-1）d₂]-[1+（n-1）d₁]=（n-1）（d₂-d₁），
同理，a_3n-a_2n=（n-1）（d₃-d₂），a_4n-a_3n=（n-1）（d₄-d₃），…，a_nn-a_（n-1）n=（n-1）（d_n-d_n-1）．
又因为a_1n，a_2n，a_3n，a_nn成等差数列，所以a_2n-a_1n=a_3n-a_2n=…=a_nn-a_（n-1）n．
故d₂-d₁=d₃-d₂=…=d_n-d_n-1，即d_n是公差为d₂-d₁的等差数列．
所以，d_m=d₁+（m-1）（d₂-d₁）=（2-m）d₁+（m-1）d₂．
令p₁=2-m，p₂=m-1，则d_m=p₁d₁+p₂d₂，此时p₁+p₂=1．
故答案为：1．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．