Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-3）²+（y-4）²=1，圆C₂：（x+1）²+y²=1．
（1）求过点A（4，6）的圆C₁的切线l的方程；
（2）已知圆C₃：（x+1）²+y²=9，动圆M半径为1，圆心M在圆C₃上移动，过圆M上任意一点P作圆C₂的两条切线PE，PF，切点为E，F，求

C1E

•

C1F

的取值范围；
（3）若动圆Q同时平分圆C₁的周长、圆C₂的周长，求圆心Q的轨迹方程，并判断
动圆Q是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算,圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设过点A（4，6）的圆的切线方程为kx-y-4k+6=0，圆心C₁（3，4）到切线kx-y-4k+6=0的距离d=

|3k-4-4k+6|

k2+1

=1，当直线的斜率不存在时，切线为x=4，由此能求出切线方程．
（2）动圆M是圆心在定圆（x+1）²+y²=9上移动，半径为1的圆，由圆的几何性质得，|MC₁|-r≤|PC₁|≤|MC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC₁|²≤16，利用向量的数量积公式，即可求

C1E

•

C1F

的取值范围；
（3）确定动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动，求出动圆C的方程，即可得出结论．

解答： 解：（1）圆C₁：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C₁（3，4），半径r₁=1，
∵A（4，6），∴|AC₁|=

(4-3)2+(6-4)2

=

5

＞r₁，
∴点A（4，6）是圆C₁外上点，
设过点A（4，6）的圆的切线方程为y-6=k（x-4），即kx-y-4k+6=0，
圆心C₁（3，4）到切线kx-y-4k+6=0的距离d=

|3k-4-4k+6|

k2+1

=1，
解得k=

3

4

，∴切线方程为

3

4

x-y-3+6=0，整理，得3x-4y+12=0．
当直线的斜率不存在时，切线为x=4，满足条件，
∴过点A（4，6）的圆C₁的切线l的方程3x-4y+12=0或x=4．
（2）动圆M是圆心在定圆（x+1）²+y²=9上移动，半径为1的圆，
设∠EC₁F=2α，则在Rt△PC₁E中，cosα=

|C1E|

|PC1|

=

1

|PC1|

，
有cos2α=2cos²α-1=

2

|PC1|2

-1，
则

C1E

•

C1F

=|

C1E

|•|

C1F

|cos2α=cos2α=

2

|PC1|2

-1，
由圆的几何性质得，|MC₁|-r≤|PC₁|≤|MC₁|+r，
即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC₁|²≤16，
∴

C1E

•

C1F

的最大值为-

1

2

，最小值为-

7

8

．
故

C2E

•

C2F

∈[-

7

8

，-

1

2

]．
（3）设圆心C（x，y），由题意，得CC₁=CC₂，
即

(x-3)2+(y-4)2

=

(x+1)2+y2

．
化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动．
设C（m.3-m），则动圆C的半径为

1+CC12

=

1+(m+1)2+(3-m)2

．
于是动圆C的方程为（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²．
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由

x-y+1=0 x2+y2-6y-2=0

，得

x=1- 3 2 2 y=2- 3 2 2

，或

x=1+ 3 2 2 y=2+ 3 2 2

，
∴圆心Q的轨迹方程x+y-3=0
定点坐标为（1-

3

2

2

，2-

3

2

2

），（1+

3

2

2

，2+

3

2

2

）．

点评：本题考查直线与圆的方程，考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．