Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形内角和，转化B+C，用诱导公式、降幂公式、倍角公式化简，得到关于cosA的方程，求得cosA，进而求得A．
（2）在Rt△ABD，Rt△ACD中，sinB=

1

c

，sinC=

1

b

，代入三角形面积公式，求得面积的最值，只需化简求表达式中分母的最值，将C用B表示，利用两角和公式化简，利用B的范围求得分母的最值，进而求得面积的最值．

解答： 解：（1）∵A+B+C=π，
∴sin

B+C

2

=sin

π-A

2

=cos

A

2

，
∵4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
∴4cos²

A

2

-cos2A=

7

2

．
∴2（1+cosA）-（2cos²A-1）=

7

2

，
整理得（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（2）S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

1

sinB

×

1

sinC

×

3

2

=

3

4sinBsinC

，
设y=4sinBsinC，
则y=4sinBsin（

2π

3

-B）=2

3

sinBcosB+2sin²B=

3

sin2B+1-cos2B=2sin（2B-

π

6

）+1，
∵0＜B＜

π

2

，0＜

2π

3

-B＜

π

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴当2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，y有最大值为3，
∴此时S有最小值，为

3

3

．

点评：本题主要考查了两角和与差的争先公式，二倍角公式，诱导公式，三角函数最值等基础知识．考查运用三角公式进行三角变换的能力和计算能力．