Question

已知椭圆C的一个焦点在抛物线y²=4x的准线上，F₁，F₂是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上任意一点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件结合抛物线性质求出c=1，由椭圆的定义结合不等式性质求出a²=2，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2），联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线y²=4x的准线是x=-1，
得椭圆C的一个焦点是F₁（-1，0），即c=1，
由椭圆的定义知|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|•|PF₂≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|=a时取等号，
∴a²=2，∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的斜率为k，则其方程为y=k（x-2），
联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，解得k2＜

1

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
则x1+x2 =

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

x1+x2

t

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵点P在椭圆上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2×

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
整理，得16k²=t²（1+2k²），
又∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，∴|

AB

|＜

2 5

3

，
∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

•

[(x1+x2)2-4x1x2]

＜

2 5

3

，
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
化简，得56k⁴+38k²-13＞0，
解得k2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，
又∵16k²=t²（1+2k²），∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，
∵

1

4

＜k2＜

1

2

，
∴

8

3

＜t2＜4，
解得-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，
∴所求实数的取值范围是(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．