Question

14．若过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）右顶点A且与其中一条渐近线平行，又与另一条渐近线交于点B，满足三角形AOB的面积为$\frac{{a}^{2}}{4}$，则该双曲线的离心率e为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得A（a，0）求出双曲线的渐近线方程，设出直线AB的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-a），代入y=-$\frac{b}{a}$x，解方程可得B的坐标，再由△AOB的面积为$\frac{1}{2}$•|OA|•|y_B|，化简，结合离心率公式即可得到所求值．

解答 解：过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）右顶点A为（a，0），
与其中一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x平行，
又与另一条渐近线y=-$\frac{b}{a}$x交于点B，
可得直线AB的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-a），
代入y=-$\frac{b}{a}$x可得x=$\frac{a}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$b，即有B（$\frac{a}{2}$，-$\frac{1}{2}$b），
则△AOB的面积为$\frac{1}{2}$•|OA|•|y_B|=$\frac{1}{2}$a•$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
化为a=b，则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及联立直线方程求交点，考查三角形的面积公式的应用，以及运算能力，属于中档题．