Question

3．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求证：A₁C₁∥平面ABCD；
（2）求：△A₁C₁A的面积；
（3）求A₁C₁与平面A₁B₁BA所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁∥AC，能证明A₁C₁∥平面ABCD．
（2）由AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，能求出△A₁C₁A的面积．
（3）由C₁B₁⊥平面A₁B₁BA，得∠C₁A₁B₁是A₁C₁与平面A₁B₁BA所成角，由此能求出A₁C₁与平面A₁B₁BA所成角．

解答 证明：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁C₁∥AC，且AC?平面ABCD，A₁C₁?平面ABCD，
∴A₁C₁∥平面ABCD．
解：（2）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁=1，A₁C₁=$\sqrt{2}$，AA₁⊥A₁C₁，
∴△A₁C₁A的面积${S}_{△{A}_{1}{C}_{1}A}$=$\frac{1}{2}×A{A}_{1}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）∵C₁B₁⊥平面A₁B₁BA，
∴∠C₁A₁B₁是A₁C₁与平面A₁B₁BA所成角，
∵A₁B₁=C₁B₁，A₁B₁⊥C₁B₁，∴∠C₁A₁B₁=45°，
∴A₁C₁与平面A₁B₁BA所成角为45°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三角形面积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．