Question

4．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠θ），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）求圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程
（2）若直线l与圆C恒有两个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由参数方程和极坐标方程的形式，将其变形为普通方程即可得答案；
（2）由直线与圆的位置关系，分析可得$\frac{|4a+5|}{{\sqrt{{4^2}+{{（-3）}^2}}}}＜|a|$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3t+1\\ y=4t+3\end{array}\right.$得，$\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}$，
∴直线l的普通方程为4x-3y+5=0．
由ρ=2acosθ得，ρ²=2aρcosθ，
∴x²+y²=2ax，
∴圆C的平面直角坐标方程为（x-a）²+y²=a²．
（2）∵直线l与圆C恒有两个公共点，∴$\frac{|4a+5|}{{\sqrt{{4^2}+{{（-3）}^2}}}}＜|a|$，
解得$a＜-\frac{5}{9}$或a＞5，
∴a的取值范围是$（-∞，-\frac{5}{9}）∪（5，+∞）$．

点评 本题考查直线与圆的极坐标方程、参数方程，关键是将直线的参数方程．圆的标准方程变形为普通方程．