Question

在如图所示的三棱柱中，点A、BB₁的中点M以及B₁C₁的中点N所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，则小部分的体积与大部分的体积之比为

 

．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：作出截面DNMA，几何体扩展为三棱锥，利用特殊几何体的体积求解一般性结论，推出结果即可．

解答： 解：延长MN与CC₁的交点为P，CB的交点为Q，连结AP交A₁C₁于D，连结DN，
可得截面为DNMA，易得A₁D=2DC₁．不妨设三棱柱是直三棱柱，
底面AB⊥BC，且设AB=BC=AA₁=2，下部分的体积为：V_P-AQC-V_P-DNC1-V_M-AQB，QB=1，MB=1，NC=1，PC₁=1．
棱柱的体积为V=

1

2

×2×2×2=4，
下部分的体积为：

1

3

×

1

2

×3×2×3-

1

3

×

1

2

×1×2-

1

3

×

1

2

×1×

2

3

×1=

23

9

．
上部分几何体的体积为4-

23

9

=

13

9

．
小部分的体积与大部分的体积之比为：

13

9

：

23

9

=13：23．
故答案为：13：23．

点评：本题考查几何体截面的作法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力与转化思想，考查逻辑推理能力．