Question

从正方体的各个棱面上的12条面对角线中任取两条，设ξ为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，ξ=

π

2

（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）当ξ=0时，即所选的两条面对角线平行，由此能求出P（ξ=0）．
（Ⅱ）由题意知ξ=0，

π

3

，

π

2

，分别求出P（ξ=0），P（ξ=

π

3

），P（ξ=

π

2

），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）当ξ=0时，即所选的两条面对角线平行．
则P（ξ=0）=

6

C 2 12

=

1

11

．（4分）
（Ⅱ）由题意知ξ=0，

π

3

，

π

2

，
P（ξ=0）=

6

C 2 12

=

1

11

，
P（ξ=

π

3

）=

48

C 2 12

=

8

11

，
P（ξ=

π

2

）=

12

C 2 12

=

2

11

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	π 3	π 2
P	1 11	8 11	2 11

（10分）
Eξ=0×

1

11

+

π

3

×

8

11

+

π

2

×

2

11

=

π

3

．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的灵活运用，是中档题．